R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} và R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} đồng phôi thì m {\displaystyle m} phải bằng n {\displaystyle n} .

Chứng minh. Giả sử có đồng phôi f : R m → R n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} và m > n {\displaystyle m>n} . Khi đó với mọi tập mở U ⊂ R m {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m}} ta có f ( U ) {\displaystyle f\left(U\right)} mở trong R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Do m > n {\displaystyle m>n} , xét ánh xạ chứa trong i : R n → R m {\displaystyle i:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} , ta thấy các phần tử của i ( f ( U ) ) {\displaystyle i\left(f\left(U\right)\right)} sẽ được viết dưới dạng ( x 1 , x 2 , . . . , x n , 0 , 0 ) ∈ R m {\displaystyle \left(x_{1},x_{2},...,x_{n},0,0\right)\in \mathbb {R} ^{m}} . Mặt khác do i {\displaystyle i} là một đơn ánh liên tục nên i ( f ( U ) ) {\displaystyle i\left(f\left(U\right)\right)} , theo định lý bất biến miền, phải mở trong R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , điều này là không thể bởi ( x 1 , x 2 , . . . , x n , 0 , 0 ) ∈ i ( f ( U ) ) {\displaystyle \left(x_{1},x_{2},...,x_{n},0,0\right)\in i\left(f\left(U\right)\right)} không có lân cận mở nào trong R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} chứa trong i ( f ( U ) ) {\displaystyle i\left(f\left(U\right)\right)} . Vậy m ≤ n {\displaystyle m\leq n} .

Làm ngược lại với f − 1 : R n → R m {\displaystyle f^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} , ta có n ≤ m {\displaystyle n\leq m} . Vậy m {\displaystyle m} và n {\displaystyle n} phải bằng nhau.

Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều H m ( S n ) {\displaystyle H_{m}(S^{n})} .

Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng" R {\displaystyle \mathbb {R} } , mặt phẳng R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} hay cả không gian R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} thành hai thứ còn lại.